20/1/2010: Διάσπαση Hahn και θεώρημα Radon-Nikodym

Αποδείξαμε ότι για κάθε προσημασμένο μέτρο σε ένα χώρο μέτρου ο χώρος διαμερίζεται σε δύο υποσύνολα ώστε το μέτρο να είναι μη αρνητικό σε κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του και μη θετικό σε κάθε υποσύνολο του (διάσπαση Hahn). Αυτό οδηγεί στη λεγόμενη ανάλυση Jordan: κάθε προσημασμένο μέτρο είναι διαφορά δύο θετικών μέτρων που φέρονται από δύο ξένα σύνολα (είναι δηλ. μεταξύ τους ιδιάζοντα).

Το χρησιμοποιήσαμε αυτό για να δείξουμε το θ. Radon-Nikodym: σε κάθε σ-πεπερασμένο χώρο μέτρου με δύο θετικά μέτρα (δηλ. ) υπάρχει συνάρτηση (“Radon-Nikodym παράγωγος” του ως προς ) ώστε για κάθε . Γράφουμε σε αυτή την περίπτωση

ή

για να υποδηλώσουμε το παραπάνω. Αυτό οδηγεί στην ανάλυση Lebesgue ενός μέτρου ως προς το μέτρο ως

με και ,

όπου σημαίνει ότι το μέτρο είναι ιδιάζον ως προς το .

Ακολουθήσαμε το βιβλίο Royden, Real Analysis, 3ed, Κεφ. 11.

Λύστε τις ασκήσεις 29, 30, 31, 34, 37, 39.