Θεωρία Μέτρου 2009-10 (Παν. Κρήτης)

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα

Mihalis Kolountzakis — Mon, 25 Jan 2010 07:29:24 +0000

Θα γίνει την Τρίτη 2 Φεβ. 2010, στις 15:00 (αίθουσα Γ 104).

Μπορείτε να δείτε το τελικό διαγώνισμα εδώ.

20/1/2010: Διάσπαση Hahn και θεώρημα Radon-Nikodym

Mihalis Kolountzakis — Mon, 25 Jan 2010 07:25:46 +0000

Αποδείξαμε ότι για κάθε προσημασμένο μέτρο σε ένα χώρο μέτρου ο χώρος διαμερίζεται σε δύο υποσύνολα ώστε το μέτρο να είναι μη αρνητικό σε κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του και μη θετικό σε κάθε υποσύνολο του (διάσπαση Hahn). Αυτό οδηγεί στη λεγόμενη ανάλυση Jordan: κάθε προσημασμένο μέτρο είναι διαφορά δύο θετικών μέτρων που φέρονται από δύο ξένα σύνολα (είναι δηλ. μεταξύ τους ιδιάζοντα).

Το χρησιμοποιήσαμε αυτό για να δείξουμε το θ. Radon-Nikodym: σε κάθε σ-πεπερασμένο χώρο μέτρου με δύο θετικά μέτρα (δηλ. ) υπάρχει συνάρτηση (“Radon-Nikodym παράγωγος” του ως προς ) ώστε για κάθε . Γράφουμε σε αυτή την περίπτωση

για να υποδηλώσουμε το παραπάνω. Αυτό οδηγεί στην ανάλυση Lebesgue ενός μέτρου ως προς το μέτρο ως

με και ,

όπου σημαίνει ότι το μέτρο είναι ιδιάζον ως προς το .

Ακολουθήσαμε το βιβλίο Royden, Real Analysis, 3ed, Κεφ. 11.

Λύστε τις ασκήσεις 29, 30, 31, 34, 37, 39.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα

Mihalis Kolountzakis — Sat, 09 Jan 2010 21:20:10 +0000

Θα γίνει ένα δίωρο μάθημα στις 20 Ιανουαρίου 2010, 9-11 στη Γ 104.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα μετά τις γιορτές

Mihalis Kolountzakis — Tue, 15 Dec 2009 09:18:21 +0000

Θα γίνουν ένα ή δύο δίωρα μετά τις 18 Ιαν. 2010.

15/12/09: Παραδείγματα χώρων μέτρου

Mihalis Kolountzakis — Tue, 15 Dec 2009 09:16:43 +0000

Είδαμε σήμερα πολλά παραδείγματα χώρων μέτρου. Για παράδειγμα είδαμε πώς μπορούμε να γράψουμε μια άπειρη σειρά ως ένα ολοκλήρωμα σε κατάλληλο χώρο μέτρου (counting measure) και πώς τα θεωρήματα σύγκλισης (θ. μονότονης σύγκλισης, θ. κυριαρχημένης σύγκλισης) μεταφράζονται στη γλώσσα των σειρών. Είδαμε επίσης τη σημειακή μάζα Dirac και διάφορα παρόμοια μέτρα στο καθώς και το πώς ορίζεται ο μετασχηματισμός Fourier ενός πεπερασμένου μέτρου.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα Δε 14/12/09

Mihalis Kolountzakis — Fri, 11 Dec 2009 15:02:20 +0000

Τη Δευτέρα 14/12/09 δε θα γίνει μάθημα λόγω απουσίας μου.

Μετά τις γιορτές όμως θα γίνουν κάποια μαθήματα. Θα ανακοινωθεί αργότερα το πότε.

11/12/09: Δεύτερο διαγώνισμα

Mihalis Kolountzakis — Fri, 11 Dec 2009 15:00:24 +0000

Σήμερα είχαμε το δεύτερο διαγώνισμα. Είναι εδώ.

8/12/09: Γενικοί χώροι μέτρου

Mihalis Kolountzakis — Tue, 08 Dec 2009 11:39:36 +0000

Σήμερα αρχίσαμε τη συζήτηση για γενικούς χώρους μέτρου, τους οοίους ορίσαμε και είδαμε πώς προκύπτει ένας χώρος μέτρου από ένα εξωτερικό μέτρο ορισμένο πάνω στον χώρο. Είδαμε επίσης την ιδιότητα κανονικότητας (regularity) για τα μέτρα Borel (που δίνουν πεερασμένο μέτρο σε όλες τις μπάλες).

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Έκτακτο μάθημα

Mihalis Kolountzakis — Mon, 07 Dec 2009 09:26:52 +0000

Θα κάνουμε ένα επιπλέον δίωρο την Πέμπτη 10/12, 9-11 το πρωί στη Λ202.

7/12/09: Λήμμα Vitali. Jump functions.

Mihalis Kolountzakis — Mon, 07 Dec 2009 09:25:23 +0000

Είδαμε πλήρως την απόδειξη του λήμματος καλυψης του Vitali και αποδείξαμε ότι οι απολύτως συνεχείς συναρτήσεις είναι ακριβώς αυτές που γράφονται ως αόριστα ολοκληρώματα ολοκληρωσίμων συναρτήσεων. Είδαμε και τι είναι οι jump functions και δείξαμε ότι η παράγωγός τους είναι 0 σ.π.