Θεωρία Μέτρου 2009-10 (Παν. Κρήτης)

Ιανουαρίου 25, 2010

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 7:29 πμ

Θα γίνει την Τρίτη 2 Φεβ. 2010, στις 15:00 (αίθουσα Γ 104).

Μπορείτε να δείτε το τελικό διαγώνισμα εδώ.

20/1/2010: Διάσπαση Hahn και θεώρημα Radon-Nikodym

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 7:25 πμ

Αποδείξαμε ότι για κάθε προσημασμένο μέτρο σε ένα χώρο μέτρου X ο χώρος διαμερίζεται σε δύο υποσύνολα X = A \cap B ώστε το μέτρο να είναι μη αρνητικό σε κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του A και μη θετικό σε κάθε υποσύνολο του B (διάσπαση Hahn). Αυτό οδηγεί στη λεγόμενη ανάλυση Jordan: κάθε προσημασμένο μέτρο είναι διαφορά δύο θετικών μέτρων που φέρονται από δύο ξένα σύνολα (είναι δηλ. μεταξύ τους ιδιάζοντα).

Το χρησιμοποιήσαμε αυτό για να δείξουμε το θ. Radon-Nikodym: σε κάθε σ-πεπερασμένο χώρο μέτρου με δύο θετικά μέτρα \mu, \nu, \nu << \mu (δηλ. \mu(A)=0 \Longrightarrow \nu(A)=0) υπάρχει συνάρτηση f\ge 0 («Radon-Nikodym παράγωγος» του \nu ως προς \mu) ώστε \nu(A) = \int_A f d\mu για κάθε A. Γράφουμε σε αυτή την περίπτωση

d\nu = f d\mu ή f=\frac{d\nu}{d\mu}

για να υποδηλώσουμε το παραπάνω. Αυτό οδηγεί στην ανάλυση Lebesgue ενός μέτρου \nu ως προς το μέτρο \mu ως

\nu = \nu_1 + \nu_2 με \nu_1 << \mu και \nu_2 \perp \mu,

όπου \nu_2 \perp \mu σημαίνει ότι το μέτρο \nu_2 είναι ιδιάζον ως προς το \mu.

Ακολουθήσαμε το βιβλίο Royden, Real Analysis, 3ed, Κεφ. 11.

Λύστε τις ασκήσεις 29, 30, 31, 34, 37, 39.

Ιανουαρίου 9, 2010

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 9:20 μμ

Θα γίνει ένα δίωρο μάθημα στις 20 Ιανουαρίου 2010, 9-11 στη Γ 104.

Δεκέμβριος 15, 2009

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα μετά τις γιορτές

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 9:18 πμ

Θα γίνουν ένα ή δύο δίωρα μετά τις 18 Ιαν. 2010.

15/12/09: Παραδείγματα χώρων μέτρου

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 9:16 πμ

Είδαμε σήμερα πολλά παραδείγματα χώρων μέτρου. Για παράδειγμα είδαμε πώς μπορούμε να γράψουμε μια άπειρη σειρά ως ένα ολοκλήρωμα σε κατάλληλο χώρο μέτρου (counting measure) και πώς τα θεωρήματα σύγκλισης (θ. μονότονης σύγκλισης, θ. κυριαρχημένης σύγκλισης) μεταφράζονται στη γλώσσα των σειρών. Είδαμε επίσης τη σημειακή μάζα Dirac και διάφορα παρόμοια μέτρα στο {\mathbb R}^d καθώς και το πώς ορίζεται ο μετασχηματισμός Fourier ενός πεπερασμένου μέτρου.

Δεκέμβριος 11, 2009

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα Δε 14/12/09

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 3:02 μμ

Τη Δευτέρα 14/12/09 δε θα γίνει μάθημα λόγω απουσίας μου.

Μετά τις γιορτές όμως θα γίνουν κάποια μαθήματα. Θα ανακοινωθεί αργότερα το πότε.

11/12/09: Δεύτερο διαγώνισμα

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 3:00 μμ

Σήμερα είχαμε το δεύτερο διαγώνισμα. Είναι εδώ.

Δεκέμβριος 8, 2009

8/12/09: Γενικοί χώροι μέτρου

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 11:39 πμ

Σήμερα αρχίσαμε τη συζήτηση για γενικούς χώρους μέτρου, τους οοίους ορίσαμε και είδαμε πώς προκύπτει ένας χώρος μέτρου από ένα εξωτερικό μέτρο ορισμένο πάνω στον χώρο. Είδαμε επίσης την ιδιότητα κανονικότητας (regularity) για τα μέτρα Borel (που δίνουν πεερασμένο μέτρο σε όλες τις μπάλες).

Δεκέμβριος 7, 2009

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Έκτακτο μάθημα

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 9:26 πμ

Θα κάνουμε ένα επιπλέον δίωρο την Πέμπτη 10/12, 9-11 το πρωί στη Λ202.

7/12/09: Λήμμα Vitali. Jump functions.

Filed under: Uncategorized — Mihalis Kolountzakis @ 9:25 πμ

Είδαμε πλήρως την απόδειξη του λήμματος καλυψης του Vitali και αποδείξαμε ότι οι απολύτως συνεχείς συναρτήσεις είναι ακριβώς αυτές που γράφονται ως αόριστα ολοκληρώματα ολοκληρωσίμων συναρτήσεων. Είδαμε και τι είναι οι jump functions και δείξαμε ότι η παράγωγός τους είναι 0 σ.π.

Επόμενη σελίδα: »

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.