ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Τελικό διαγώνισμα

Θα γίνει την Τρίτη 2 Φεβ. 2010, στις 15:00 (αίθουσα Γ 104).

Μπορείτε να δείτε το τελικό διαγώνισμα εδώ.

20/1/2010: Διάσπαση Hahn και θεώρημα Radon-Nikodym

Αποδείξαμε ότι για κάθε προσημασμένο μέτρο σε ένα χώρο μέτρου ο χώρος διαμερίζεται σε δύο υποσύνολα ώστε το μέτρο να είναι μη αρνητικό σε κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του και μη θετικό σε κάθε υποσύνολο του (διάσπαση Hahn). Αυτό οδηγεί στη λεγόμενη ανάλυση Jordan: κάθε προσημασμένο μέτρο είναι διαφορά δύο θετικών μέτρων που φέρονται από δύο ξένα σύνολα (είναι δηλ. μεταξύ τους ιδιάζοντα).

Το χρησιμοποιήσαμε αυτό για να δείξουμε το θ. Radon-Nikodym: σε κάθε σ-πεπερασμένο χώρο μέτρου με δύο θετικά μέτρα (δηλ. ) υπάρχει συνάρτηση («Radon-Nikodym παράγωγος» του ως προς ) ώστε για κάθε . Γράφουμε σε αυτή την περίπτωση

ή

για να υποδηλώσουμε το παραπάνω. Αυτό οδηγεί στην ανάλυση Lebesgue ενός μέτρου ως προς το μέτρο ως

με και ,

όπου σημαίνει ότι το μέτρο είναι ιδιάζον ως προς το .

Ακολουθήσαμε το βιβλίο Royden, Real Analysis, 3ed, Κεφ. 11.

Λύστε τις ασκήσεις 29, 30, 31, 34, 37, 39.

Advertisement

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα

Θα γίνει ένα δίωρο μάθημα στις 20 Ιανουαρίου 2010, 9-11 στη Γ 104.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα μετά τις γιορτές

Θα γίνουν ένα ή δύο δίωρα μετά τις 18 Ιαν. 2010.

15/12/09: Παραδείγματα χώρων μέτρου

Είδαμε σήμερα πολλά παραδείγματα χώρων μέτρου. Για παράδειγμα είδαμε πώς μπορούμε να γράψουμε μια άπειρη σειρά ως ένα ολοκλήρωμα σε κατάλληλο χώρο μέτρου (counting measure) και πώς τα θεωρήματα σύγκλισης (θ. μονότονης σύγκλισης, θ. κυριαρχημένης σύγκλισης) μεταφράζονται στη γλώσσα των σειρών. Είδαμε επίσης τη σημειακή μάζα Dirac και διάφορα παρόμοια μέτρα στο καθώς και το πώς ορίζεται ο μετασχηματισμός Fourier ενός πεπερασμένου μέτρου.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα Δε 14/12/09

Τη Δευτέρα 14/12/09 δε θα γίνει μάθημα λόγω απουσίας μου.

Μετά τις γιορτές όμως θα γίνουν κάποια μαθήματα. Θα ανακοινωθεί αργότερα το πότε.

11/12/09: Δεύτερο διαγώνισμα

Σήμερα είχαμε το δεύτερο διαγώνισμα. Είναι εδώ.

8/12/09: Γενικοί χώροι μέτρου

Σήμερα αρχίσαμε τη συζήτηση για γενικούς χώρους μέτρου, τους οοίους ορίσαμε και είδαμε πώς προκύπτει ένας χώρος μέτρου από ένα εξωτερικό μέτρο ορισμένο πάνω στον χώρο. Είδαμε επίσης την ιδιότητα κανονικότητας (regularity) για τα μέτρα Borel (που δίνουν πεερασμένο μέτρο σε όλες τις μπάλες).

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Έκτακτο μάθημα

Θα κάνουμε ένα επιπλέον δίωρο την Πέμπτη 10/12, 9-11 το πρωί στη Λ202.

7/12/09: Λήμμα Vitali. Jump functions.

Είδαμε πλήρως την απόδειξη του λήμματος καλυψης του Vitali και αποδείξαμε ότι οι απολύτως συνεχείς συναρτήσεις είναι ακριβώς αυτές που γράφονται ως αόριστα ολοκληρώματα ολοκληρωσίμων συναρτήσεων. Είδαμε και τι είναι οι jump functions και δείξαμε ότι η παράγωγός τους είναι 0 σ.π.